Entropy-based nonlinear viscosity for Fourier approximations of conservation laws

An Entropy-based nonlinear viscosity for approximating conservation laws using Fourier expansions is proposed. The viscosity is proportional to the entropy residual of the equation (or system) and thus preserves the spectral accuracy of the method. To cite this article: J.-L. Guermond, R. Pasquetti, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008). © 2008 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Résumé Une technique de viscosité entropique pour l’approximation de Fourier des lois de conservation. On propose une technique de viscosité non-linéaire entropique pour approcher les lois de conservation par une méthode spectrale Fourier. La viscosité est proportionelle au résidu de l’équation d’évolution de l’entropie et est ainsi spectralement petite quand la solution est régulière. Pour citer cet article : J.-L. Guermond, R. Pasquetti, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008). © 2008 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Version française abrégée On présente dans cette Note une technique pour résoudre les lois de conservation de la forme (1) par une méthode spectrale Fourier, cf. (3). La solution pouvant développer des chocs on introduit un terme de viscosité non-linéaire proportionel au résidu de l’équation de conservation de l’entropie (4), (5). Les performances de la méthode sont d’abord validées pour l’équation de Burgers et pour un problème à flux non convexe (6). Les résultats obtenus sont présentés dans la Fig. 1. On considère ensuite le système des équations d’Euler (7), que l’on complète par des termes de viscosité similaires à ceux du système de Navier–Stokes, cf. (8), (9). Comme dans le cas scalaire, les viscosité et diffusivité artificielles sont proportionnelles au résidu de l’équation d’évolution de l’entropie, cf. (10) à (14). La technique est illustrée sur les tubes à choc de Lax, de Shu–Osher et de Woodward–Colella. Les résultats sont montrés dans la Fig. 2. E-mail addresses: [email protected] (J.-L. Guermond), [email protected] (R. Pasquetti). 1 Permanent address: LIMSI (CNRS-UPR 3251), BP 133, 91403 Orsay cedex, France. 1631-073X/$ – see front matter © 2008 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.crma.2008.05.013 802 J.-L. Guermond, R. Pasquetti / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008) 801–806 Contrairement à d’autres approches plus standards, nous n’utilisons pas les variables entropiques, cf., par exemple, [1] ou [5]. Les viscosité et diffusivité artificielles sont directement construites sur l’équation d’évolution de l’entropie.